LeetCode题解之二叉树

前言

今天说说二叉树。

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树

首先看看什么是树??。

如图，这种有节点的结构就是树。

树 是n(n>=0)个结点的有限集

其中：

  • 每个元素叫做 节点
  • 上一节是下一节的 父节点，比如1是2的父节点
  • 最上面的节点，也就是没有父节点的节点叫做 根节点，比如1
  • 同一个父节点的节点叫做 兄弟节点，比如2、3、4是兄弟节点
  • 没有子节点的节点叫做 叶子节点

二叉树

听名字还是比较好理解的，就是每个节点有两个分叉的树。但是又不要求一定有两个节点，只要小于等于2个节点就可以。

比如这种：

其中，可以看到绿色的树每个节点都有左右两个节点，这种二叉树就叫做 满二叉树。

还有一种二叉树叫做 完全二叉树。

完全二叉树: 对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

啥意思呢，比如一个满二叉树，每个节点进行顺序编号，如果去了一些节点，编号不会变化，那么就是完全二叉树，比如：

这张图中，绿色树是满二叉树，当去掉7号节点，变成了黄色树。

这颗黄色树的序号相对于满二叉树的序号都能一一对应，所以这个黄色树就是完全二叉树。

如果去掉的是6号节点，变成红色树，这时候，红色树的节点就必须有所变化了，6消失后节点7必须变成节点6才正确。

所以这个红色树就不是完全二叉树，因为它相对于满二叉树序号有所改变，已经对应不上了。

算法——平衡二叉树

说了这么多，该来个题练练手了。

输入一棵二叉树的根节点，判断该树是不是平衡二叉树。如果某二叉树中任意节点的左右子树的深度相差不超过1，那么它就是一棵平衡二叉树。

示例 1: 给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]

  
 
 
 
    
   
  
  
  
  1.   3 
    2. 
   
  
  
  
  2.  / \ 
    3. 
   
  
  
  
  3. 9  20 
    4. 
   
  
  
  
  4.   /  \ 
    5. 
   
  
  
  
  5.  15   7 
    6.

返回 true 。

解析

题目给出了平衡二叉树的概念，就是任意节点的左右子树相差不超过1，就是平衡二叉树。

那这个深度是啥呢?

深度就是根节点到当前节点经过的边个数

层数就是当前节点在第几层，跟节点为第一层，所以层数=深度+1

  
 
 
 
    
   
  
  
  
  1.  1       深度 0 ，层数 1 
    2. 
   
  
  
  
  2.  / \ 
    3. 
   
  
  
  
  3. 2  3      深度 1 ，层数 2 
    4. 
   
  
  
  
  4.   /  \ 
    5. 
   
  
  
  
  5.  4    5   深度 2 ，层数 3 
    6.

解法1

首先容易想到的就是把每个节点的深度都算出来，然后进行左右节点比较就能得出是不是平衡二叉树。

那么节点的子树深度怎么计算呢?

递归。当子节点为空就返回，否则每次增加一个单位深度。

  
 
 
 
    
   
  
  
  
  1. /** 
    2. 
   
  
  
  
  2.  * Definition for a binary tree node. 
    3. 
   
  
  
  
  3.  * public class TreeNode { 
    4. 
   
  
  
  
  4.  *     int val; 
    5. 
   
  
  
  
  5.  *     TreeNode left; 
    6. 
   
  
  
  
  6.  *     TreeNode right; 
    7. 
   
  
  
  
  7.  *     TreeNode(int x) { val = x; } 
    8. 
   
  
  
  
  8.  * } 
    9. 
   
  
  
  
  9.  */ 
    10. 
   
  
  
  
  10.  
    11. 
   
  
  
  
  11.     private int depth(TreeNode root) { 
    12. 
   
  
  
  
  12.         if (root == null) return 0; 
    13. 
   
  
  
  
  13.         return Math.max(depth(root.left), depth(root.right)) + 1; 
    14. 
   
  
  
  
  14.     } 
    15.

深度搞定了，这题就好解了，即遍历每个节点的左右深度，还是要 用到递归：

  
 
 
 
    
   
  
  
  
  1. class Solution { 
    2. 
   
  
  
  
  2.     public boolean isBalanced(TreeNode root) { 
    3. 
   
  
  
  
  3.         if (root == null) return true; 
    4. 
   
  
  
  
  4.         return Math.abs(depth(root.left) - depth(root.right)) <= 1 && isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right); 
    5. 
   
  
  
  
  5.     } 
    6. 
   
  
  
  
  6.  
    7. 
   
  
  
  
  7.     private int depth(TreeNode root) { 
    8. 
   
  
  
  
  8.         if (root == null) return 0; 
    9. 
   
  
  
  
  9.         return Math.max(depth(root.left), depth(root.right)) + 1; 
    10. 
   
  
  
  
  10.     } 
    11. 
   
  
  
  
  11. } 
    12.

从根节点开始，计算每个左子树深度和右子树深度的差值，以及下面的每个节点的左子树和右子树深度，最终得出结果。

这种先处理节点，在处理左子树，再处理右子树 的遍历方式叫做 前序遍历或者先序遍历。

时间复杂度

假设节点总数为n，层数为x，二叉树为满二叉树。

时间复杂度计算可以通过 每层的时间复杂度 * 层数复杂度

每层的时间复杂度：

  • 第一层需要遍历n次，第二层需要遍历n-1次，第三层需要遍历n-3次，所以每层的时间复杂度为O(n)

层数复杂度：

  • 第一层为1个节点，第二层为2个节点，第三层为4个节点，第x层为2的x-1次方。

借助公式：

  
 
 
 
    
   
  
  
  
  1. n >= 1+2+4+8+...+2^(x-2)+1 
    2. 
   
  
  
  
  2. n <= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+2^(L-1) 
    3.

计算：

  
 
 
 
    
   
  
  
  
  1. n >= 1+2+4+8+...+2^(x-2)+1 
    2. 
   
  
  
  
  2. n >= (2^(x-1)-1) + 1  
    3. 
   
  
  
  
  3. n >= 2^(x-1) 
    4. 
   
  
  
  
  4. x <= log2n+1  
    5.

同理：

  
 
 
 
    
   
  
  
  
  1. x >= log2(n+1) 
    2.

所以一个接近平衡二叉树的高度(层数)接近logn。

所以总的时间复杂度就是 O(nlogn)

空间复杂度

由于用到了递归，用到了堆栈帧，之前说过和最大递归深度成正比，所以空间复杂度为O(n)

解法2

还有没有更好的解呢?

刚才我们用到的是先序遍历，但是可以发现，每个节点都会计算一遍深度，会有大量重复计算，所以我们可以试试不重复的算法?比如直接后序遍历。

后序遍历：对于任意节点来说，先处理左子树，再处理右子树，最后再处理节点本身。

计算深度还是用到刚才的方法：

  
 
 
 
    
   
  
  
  
  1. private int depth(TreeNode root) { 
    2. 
   
  
  
  
  2.       if (root == null) return 0; 
    3. 
   
  
  
  
  3.       int left = recur(root.left); 
    4. 
   
  
  
  
  4.       int right = recur(root.right); 
    5. 
   
  
  
  
  5.       return Math.max(left, right) + 1; 
    6. 
   
  
  
  
  6.   } 
    7.

如果能计算左子树深度和右子树深度，那么我们可以直接进行比较，如果发现某个节点的左子树深度和右子树深度相差大于1，那么就可以直接返回false了。

所以综合能得出解法二：

  
 
 
 
    
   
  
  
  
  1. class Solution { 
    2. 
   
  
  
  
  2.     public boolean isBalanced(TreeNode root) { 
    3. 
   
  
  
  
  3.         return recur(root) != -1; 
    4. 
   
  
  
  
  4.     } 
    5. 
   
  
  
  
  5.  
    6. 
   
  
  
  
  6.     private int recur(TreeNode root) { 
    7. 
   
  
  
  
  7.         if (root == null) return 0; 
    8. 
   
  
  
  
  8.         int left = recur(root.left); 
    9. 
   
  
  
  
  9.         if(left == -1) return -1; 
    10. 
   
  
  
  
  10.         int right = recur(root.right); 
    11. 
   
  
  
  
  11.         if(right == -1) return -1; 
    12. 
   
  
  
  
  12.         return Math.abs(left - right) < 2 ? Math.max(left, right) + 1 : -1; 
    13. 
   
  
  
  
  13.     } 
    14. 
   
  
  
  
  14. } 
    15.

时间复杂度

n为总节点，遍历所有节点，所以时间复杂度为O(n)

空间复杂度

  
 
 
 
    
   
  
  
  
  1. O(n) 
    2.

参考

https://leetcode-cn.com/problems/ping-heng-er-cha-shu-lcof/

https://time.geekbang.org/column/article/67856

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