逆矩阵是什么

逆矩阵是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵与其逆矩阵之间的关系，在矩阵运算中，逆矩阵具有重要的作用，例如求解线性方程组、计算行列式等，下面将详细介绍逆矩阵的定义、性质以及求解方法。

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定义

1、设A是一个n阶方阵（即行数和列数相等），如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E（其中E为单位矩阵，即主对角线上的元素为1，其余元素为0的方阵），则称B为A的逆矩阵，记作A^1或A_inv。

2、如果一个矩阵没有逆矩阵，那么它称为不可逆矩阵或非奇异矩阵。

性质

1、可逆矩阵的唯一性：一个n阶方阵A是可逆的当且仅当它的行列式不为0，此时A的逆矩阵是唯一的。

2、可逆矩阵与单位矩阵的关系：AA^1=E，A^1A=E。

3、可逆矩阵的转置与逆矩阵的关系：(AB)^1=B^1A^1。

4、两个可逆矩阵的乘积的逆矩阵：(AB)A^1=B^1。

5、可逆矩阵与零矩阵的关系：AA^1≠O，A^1A≠O，但有A^1+A=O。

6、可逆矩阵与单位矩阵的乘积：AA^1=E，A^1A=E。

7、可逆矩阵与自身相乘：(AA)^1=A^1。

8、可逆矩阵与不可逆矩阵的乘积：(AA)^1=A^1AA^1=A^1（当A可逆时）。

求解方法

1、高斯消元法：通过高斯消元法将矩阵化为行最简形式，然后交换最后一行和最后一列，得到上三角矩阵，最后求出对角线元素的倒数即可得到逆矩阵。

2、伴随矩阵法：对于一个n阶方阵A，可以构造一个n阶方阵A*（称为A的伴随矩阵），然后求解行列式|A*|和|A|的值，根据公式AA^1=|A|A^1得到A^1的值。

3、克拉默法则：对于一个n阶方阵A，可以通过求解n个线性方程组来求解其逆矩阵，具体方法是将原方程组改写为增广矩阵的形式，然后利用高斯消元法求解线性方程组，得到的解即为原方程组的解，同时也是原矩阵的逆矩阵。

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